直方体の一部の頂点を結んでできる三角形 $DEG$ および四面体 $DEGH$ に関する問題です。 $cos∠EDG$、三角形 $DEG$ の面積、四面体 $DEGH$ の体積、点 $H$ から三角形 $DEG$ に下ろした垂線の長さ $HI$ を求める必要があります。 ただし、$AD = 3$, $AB = 1$, $AE = 2$ とします。

1. 問題の内容

直方体の一部の頂点を結んでできる三角形 $DEG$ および四面体 $DEGH$ に関する問題です。

$cos∠EDG$、三角形 $DEG$ の面積、四面体 $DEGH$ の体積、点 $H$ から三角形 $DEG$ に下ろした垂線の長さ $HI$ を求める必要があります。

ただし、$AD = 3$, $AB = 1$, $AE = 2$ とします。

2. 解き方の手順

(1) $cos∠EDG$ の計算

まず、$DE, EG, GD$ の長さを求めます。

$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$

$EG = \sqrt{AE^2 + AG^2}$ ではない。$EG = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

$GD = \sqrt{AD^2 + AG^2}$ ではない。$GD = \sqrt{CD^2+CG^2} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

余弦定理より、

$GD^2 = DE^2 + EG^2 - 2 \cdot DE \cdot EG \cdot cos∠DEG$

$cos∠DEG = \frac{DE^2 + EG^2 - GD^2}{2 \cdot DE \cdot EG} = \frac{13+5-5}{2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{5}} = \frac{13}{2\sqrt{65}} = \frac{13\sqrt{65}}{2\cdot 65} = \frac{\sqrt{65}}{10}$

したがって、$cos∠EDG = \frac{\sqrt{65}}{10}$

(2) 三角形 $DEG$ の面積の計算

$sin^2∠EDG = 1 - cos^2∠EDG = 1 - (\frac{\sqrt{65}}{10})^2 = 1 - \frac{65}{100} = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

$sin∠EDG = \sqrt{\frac{7}{20}} = \frac{\sqrt{35}}{10}$

$S = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EG \cdot sin∠EDG = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{35}}{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{65} \cdot \frac{\sqrt{35}}{10} = \frac{\sqrt{2275}}{20} = \frac{5\sqrt{91}}{20} = \frac{\sqrt{91}}{4}$

(3) 四面体 $DEGH$ の体積の計算

四面体 $DEGH$ は、底面を三角形 $DEG$、高さを $HE$ とする三角錐です。 $HE=3$ です。

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot HE = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{91}}{4} \cdot 3 = \frac{\sqrt{91}}{4}$

(4) $HI$ の計算

$V = \frac{1}{3} S_{DEG} HI$

$\frac{\sqrt{91}}{4} = \frac{1}{3} \frac{\sqrt{91}}{4} HI$

よって$HI=3$

3. 最終的な答え

ア: $\sqrt{65}$

イ: 10

ウ: $\sqrt{91}$

エ: 4

オ: $\sqrt{91}/4$

カ: 3

キ: 1