半径9cmの球を、中心Oからの距離が7cmの平面で切ったとき、切り口の円の面積を求めます。

## 問題58

1. 問題の内容

半径9cmの球を、中心Oからの距離が7cmの平面で切ったとき、切り口の円の面積を求めます。

2. 解き方の手順

球の中心から切断面までの距離、球の半径、切り口の円の半径の関係を考えます。

切り口の円の半径を$r$とすると、ピタゴラスの定理より、

$r^2 + 7^2 = 9^2$

$r^2 = 81 - 49 = 32$

$r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

切り口の円の面積$S$は、

$S = \pi r^2 = \pi (4\sqrt{2})^2 = 32\pi$

3. 最終的な答え

切り口の円の面積は $32\pi \text{ cm}^2$ です。

## 問題59 (1)

1. 問題の内容

$BD=CD=6 \text{ cm}, AD=12 \text{ cm}, \angle BCD=45^\circ$ で、$AD$ が平面 $BCD$ に垂直な三角錐 $ABCD$ があります。$\triangle ABC$ の面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCD$ の面積を求めます。$\triangle BCD$ は $BD=CD=6$、$\angle BCD=45^\circ$ の二等辺三角形なので、面積は

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \times BD \times CD \times \sin{\angle BCD} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$

次に、$AB$ と $AC$ の長さを求めます。$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ は合同な直角三角形なので、$AB=AC$。

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

$\triangle ABC$ の面積を求めるために、ヘロンの公式を利用します。まず、$BC$ の長さを求めます。$\triangle BCD$ において、余弦定理より

$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \times BD \times CD \times \cos{\angle BCD} = 6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times \cos{45^\circ} = 36 + 36 - 72 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 72 - 36\sqrt{2} = 36(2-\sqrt{2})$

$BC = \sqrt{36(2-\sqrt{2})} = 6\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$s = \frac{AB+AC+BC}{2} = \frac{6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} + 6\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = 6\sqrt{5} + 3\sqrt{2-\sqrt{2}} = 3(2\sqrt{5} + \sqrt{2-\sqrt{2}})$

ヘロンの公式：$\triangle ABC = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$。ここで $a=AB$, $b=AC$, $c=BC$。

$\triangle ABC = \sqrt{s(s-6\sqrt{5})(s-6\sqrt{5})(s-6\sqrt{2-\sqrt{2}})}$

上記の計算はかなり煩雑なので、別の方法を検討します。

$\triangle ABC$ において、$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ とすると、$BE=CE$ であり、$AE \perp BC$。

$\triangle ABE$ において、$AE^2 + BE^2 = AB^2$ なので、$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2}$。

$BE = \frac{BC}{2} = 3\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$AE = \sqrt{(6\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2-\sqrt{2}})^2} = \sqrt{180 - 9(2-\sqrt{2})} = \sqrt{180 - 18 + 9\sqrt{2}} = \sqrt{162+9\sqrt{2}} = 3\sqrt{18+\sqrt{2}}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AE = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2-\sqrt{2}} \times 3\sqrt{18+\sqrt{2}} = 9\sqrt{(2-\sqrt{2})(18+\sqrt{2})} = 9\sqrt{36+2\sqrt{2}-18\sqrt{2}-2} = 9\sqrt{34 - 16\sqrt{2}}$

三角形ABCの面積は計算が非常に複雑になるため、三角錐の体積を利用して考えます。

まず、三角錐ABCDの体積は、$V = \frac{1}{3} \times \triangle BCD \times AD = \frac{1}{3} \times 9\sqrt{2} \times 12 = 36\sqrt{2}$

後で利用するため、ここまでの結果をまとめておきます。

$\triangle BCD = 9\sqrt{2}$

$BC = 6\sqrt{2-\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

一旦保留

## 問題59 (2)

1. 問題の内容

Dから平面ABCにひいた垂線の長さを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) で求めた $\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、三角錐 $ABCD$ の体積は、

$V = \frac{1}{3} \times S \times h$ （$h$ はDから平面ABCに下ろした垂線の長さ）

$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times 36\sqrt{2}}{S} = \frac{108\sqrt{2}}{S}$

$\triangle ABC$の面積を計算し直す必要がある。

$\triangle ABC$ の面積を求める別の方法として、ベクトルを用いることを考えます。

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$

$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$

３．最終的な答え

一旦保留

## 問題60

1. 問題の内容

当たりとはずれが混じった300本のくじから、10本のくじを引いたところ、当たりが2本、はずれが8本でした。このくじの中にある当たりの本数を推定しなさい。

2. 解き方の手順

くじ全体の当たりの本数を$x$とすると、はずれの本数は$300-x$となる。

標本における当たりの割合は$\frac{2}{10} = 0.2$なので、母集団における当たりの割合もほぼ等しいと考えられる。

よって、$\frac{x}{300} \approx 0.2$

$x \approx 300 \times 0.2 = 60$

3. 最終的な答え

このくじの中にある当たりの本数は約60本と推定されます。