3桁の自然数のうち、各位の数の和が6になるものは何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

3桁の自然数のうち、各位の数の和が6になるものは何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

3桁の自然数を $abc$ と表します。ここで、$a$, $b$, $c$ はそれぞれ百の位、十の位、一の位の数字を表します。問題文より、$a + b + c = 6$ であり、$a$ は 1から9までの整数、$b$ と $c$ は 0から9までの整数です。ただし、今回は $a$ は少なくとも 1 である必要があります。

まず、$a \ge 1$, $b \ge 0$, $c \ge 0$ の条件下で、$a + b + c = 6$ を満たす整数の組 $(a, b, c)$ の個数を数えます。

$a' = a - 1$ とすると、$a' \ge 0$ であり、$a = a' + 1$ です。

これを $a + b + c = 6$ に代入すると、

$(a' + 1) + b + c = 6$

$a' + b + c = 5$

ここで、$a' \ge 0$, $b \ge 0$, $c \ge 0$ を満たす整数の組 $(a', b, c)$ の個数を求めます。

これは、5個の区別できないものを3つの区別できる箱（$a'$, $b$, $c$）に入れる場合の数と同じです。

これは、仕切りを使って考えることができます。5個のものと2個の仕切りを並べる場合の数なので、

$\binom{5+2}{2} = \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り

3. 最終的な答え

21個