2点A(-4, 2)とB(3, -8)を結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求める。 (1) 3:1に内分する点 (2) 2:3に内分する点 (3) 3:1に外分する点 (4) 2:3に外分する点 (5) 中点

1. 問題の内容

2点A(-4, 2)とB(3, -8)を結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求める。

(1) 3:1に内分する点

(2) 2:3に内分する点

(3) 3:1に外分する点

(4) 2:3に外分する点

(5) 中点

2. 解き方の手順

内分点、外分点、中点の公式を用いる。

点A($x_1$, $y_1$)と点B($x_2$, $y_2$)を結ぶ線分を$m:n$に内分する点の座標は、

$\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)$

点A($x_1$, $y_1$)と点B($x_2$, $y_2$)を結ぶ線分を$m:n$に外分する点の座標は、

$\left(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}\right)$

点A($x_1$, $y_1$)と点B($x_2$, $y_2$)の中点の座標は、

$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

(1) 3:1に内分する点

$x = \frac{1 \times (-4) + 3 \times 3}{3+1} = \frac{-4 + 9}{4} = \frac{5}{4}$

$y = \frac{1 \times 2 + 3 \times (-8)}{3+1} = \frac{2 - 24}{4} = \frac{-22}{4} = -\frac{11}{2}$

(2) 2:3に内分する点

$x = \frac{3 \times (-4) + 2 \times 3}{2+3} = \frac{-12 + 6}{5} = \frac{-6}{5}$

$y = \frac{3 \times 2 + 2 \times (-8)}{2+3} = \frac{6 - 16}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

(3) 3:1に外分する点

$x = \frac{-1 \times (-4) + 3 \times 3}{3-1} = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2}$

$y = \frac{-1 \times 2 + 3 \times (-8)}{3-1} = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

(4) 2:3に外分する点

$x = \frac{-3 \times (-4) + 2 \times 3}{2-3} = \frac{12 + 6}{-1} = \frac{18}{-1} = -18$

$y = \frac{-3 \times 2 + 2 \times (-8)}{2-3} = \frac{-6 - 16}{-1} = \frac{-22}{-1} = 22$

(5) 中点

$x = \frac{-4 + 3}{2} = \frac{-1}{2}$

$y = \frac{2 + (-8)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

3. 最終的な答え

(1) ($\frac{5}{4}$, $-\frac{11}{2}$)

(2) ($-\frac{6}{5}$, -2)

(3) ($\frac{13}{2}$, -13)

(4) (-18, 22)

(5) ($-\frac{1}{2}$, -3)