$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。 (1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\tan \theta - 1 = 0$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く。

(1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $\tan \theta - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta$ の値が負であるため、$\theta$ は第3象限または第4象限に存在します。

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、

$\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ および $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ が解となります。

(2) $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \theta$ の値が正であるため、$\theta$ は第1象限または第4象限に存在します。

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であることを利用して、

$\theta = \frac{\pi}{4}$ および $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ が解となります。

(3) $\tan \theta - 1 = 0 \implies \tan \theta = 1$

$\tan \theta$ の値が正であるため、$\theta$ は第1象限または第3象限に存在します。

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であることを利用して、

$\theta = \frac{\pi}{4}$ および $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$