与えられた方程式がどのような図形を表すかを求める問題です。具体的には、以下の4つの方程式について、その図形の種類（円、点、存在しないなど）と、円の場合は中心の座標と半径を求めます。 (1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$ (2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$ (3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ (4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

1. 問題の内容

与えられた方程式がどのような図形を表すかを求める問題です。具体的には、以下の4つの方程式について、その図形の種類（円、点、存在しないなど）と、円の場合は中心の座標と半径を求めます。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

(2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$

(3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$

(4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

2. 解き方の手順

各方程式を平方完成して、円の方程式の標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形します。ここで、$r^2$ が正であれば中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円、$r^2 = 0$ であれば点 $(a, b)$、$r^2 < 0$ であれば図形は存在しません。

(1) $x^2 + y^2 + 4x - 6y = 0$

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 0$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 4 + 9$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 13$

これは中心 $(-2, 3)$、半径 $\sqrt{13}$ の円を表します。

(2) $3x^2 + 3y^2 - 6x + 12y + 5 = 0$

まず、3で割ります。

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + \frac{5}{3} = 0$

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = -\frac{5}{3}$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -\frac{5}{3} + 1 + 4$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = -\frac{5}{3} + \frac{3}{3} + \frac{12}{3}$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{10}{3}$

これは中心 $(1, -2)$、半径 $\sqrt{\frac{10}{3}}$ の円を表します。

(3) $x^2 + y^2 - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$

$(x^2 - \sqrt{3}x) + (y^2 + y) = -1$

$(x^2 - \sqrt{3}x + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) + (y^2 + y + (\frac{1}{2})^2) = -1 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2$

$(x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = -1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 0$

これは点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ を表します。

(4) $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 15 = 0$

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) = -15$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = -15 + 9 + 1$

$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = -5$

$r^2 = -5 < 0$ であるため、この方程式を満たす実数解 $(x, y)$ は存在しません。よって、図形は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(-2, 3)$、半径 $\sqrt{13}$ の円

(2) 中心 $(1, -2)$、半径 $\sqrt{\frac{10}{3}}$ の円

(3) 点 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

(4) 図形は存在しない