正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正八角形の頂点から3つを選んでできる三角形の総数を計算します。

これは組み合わせの数で求められます。

次に、正八角形と1辺または2辺を共有する三角形の数を計算します。

最後に、三角形の総数から、辺を共有する三角形の数を引くことで、辺を共有しない三角形の数を求めます。

正八角形の頂点から3つの頂点を選ぶ組み合わせの総数は、${}_8 C_3$ で計算できます。

${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

正八角形と2辺を共有する三角形は、正八角形の各頂点に対して1つずつ存在するので、8個です。

正八角形と1辺だけを共有する三角形は、1つの辺を選び、その辺に隣接しない頂点を選ぶことで作られます。正八角形の辺は8つあります。各辺に対し、隣接しない頂点は8 - 4 = 4個存在します(選んだ辺の両端の2頂点と、その両隣の2頂点を除く)。よって、8 * 4 = 32個あるように見えますが、各三角形は2回ずつカウントされているので、実際には 32 / 2 = 16個です。

しかし、この考え方では誤りです。辺を1つ共有する三角形の数は、辺を選んで、その両端の点を除く5点から1点を選ぶことでできます。つまり、8 * 5 = 40個です。しかし、この中には2辺を共有する三角形は含まれていないため問題ありません。

しかし、問題の趣旨としては正八角形と辺を共有「しない」三角形であるため、正八角形と辺を共有する三角形を求める際に、1辺だけ共有するものと2辺を共有するものに場合分けをする必要はありません。

正八角形と辺を共有する三角形は、${}_8 C_3$で求めた56個の三角形のうち、正三角形になるものが存在しえないこと、および問題文の条件から8個（二辺共有）と40個（一辺共有）の三角形を考えることで合計48個あると計算できます。

よって、辺を共有しない三角形の数は、$56 - 48 = 8$個です。

3. 最終的な答え

8個