極座標で表された2点 A$(2, \frac{\pi}{6})$ と B$(5, \frac{5\pi}{6})$ の間の距離ABを求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された2点 A$(2, \frac{\pi}{6})$ と B$(5, \frac{5\pi}{6})$ の間の距離ABを求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標で表された2点間の距離は、以下の公式で計算できます。

$AB = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos(\theta_2 - \theta_1)}$

ここで、Aの極座標を$(r_1, \theta_1)$、Bの極座標を$(r_2, \theta_2)$とします。

問題文より、$r_1 = 2$, $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$, $r_2 = 5$, $\theta_2 = \frac{5\pi}{6}$です。

これらの値を公式に代入します。

$\theta_2 - \theta_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

よって、

$AB = \sqrt{2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2})}$

$AB = \sqrt{4 + 25 + 10}$

$AB = \sqrt{39}$

3. 最終的な答え

AB = $\sqrt{39}$