$\triangle ABC$ において、$AC=2$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ のとき、$BC$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AC=2$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ のとき、$BC$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて $BC$ の長さを求めます。

まず、$\angle A$ の大きさを計算します。三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B}$

$AC = 2$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle A = 105^\circ$ を代入すると、

$BC = \frac{2 \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ であり、$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$BC = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6} + \sqrt{2}$