$\triangle ABC$において、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 120^\circ$ である。$\angle A$の二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB = 4$, $AC = 3$, $\angle A = 120^\circ$ である。$\angle A$の二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ABC$の面積Sは、

$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

(2) $AD=x$とおき、$\triangle ABD$と$\triangle ACD$の面積を求める。

$\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle A = 60^\circ$

$\triangle ABD = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}x$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin \angle CAD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}x$

(3) $\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$の関係から、$x$についての方程式を立てて解く。

$3\sqrt{3} = \sqrt{3}x + \frac{3\sqrt{3}}{4}x$

両辺を$\sqrt{3}$で割ると

$3 = x + \frac{3}{4}x$

$3 = \frac{7}{4}x$

$x = \frac{12}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{12}{7}$