四角形ABCDが円に内接しており、$AB=5$, $BC=7$, $CD=DA=3$のとき、四角形ABCDの面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、$AB=5$, $BC=7$, $CD=DA=3$のとき、四角形ABCDの面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理を利用できる。AC=xとおくと、

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

$5 \cdot 3 + 7 \cdot 3 = x \cdot BD$

$15 + 21 = x \cdot BD$

$36 = x \cdot BD$

よって、

$BD = \frac{36}{x}$

また、四角形ABCDの面積は、三角形ABCと三角形ADCの面積の和である。

三角形ABCについて、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$x^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos{B}$

$x^2 = 25 + 49 - 70 \cos{B}$

$x^2 = 74 - 70 \cos{B}$

三角形ADCについて、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}$

$x^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos{D}$

$x^2 = 9 + 9 - 18 \cos{D}$

$x^2 = 18 - 18 \cos{D}$

四角形ABCDは円に内接するので、$B+D = 180^{\circ}$であり、$D = 180^{\circ} - B$、$\cos{D} = \cos{(180^{\circ}-B)} = -\cos{B}$となる。

よって、$x^2 = 18 + 18 \cos{B}$

$x^2 = 74 - 70 \cos{B}$と$x^2 = 18 + 18 \cos{B}$より

$74 - 70 \cos{B} = 18 + 18 \cos{B}$

$56 = 88 \cos{B}$

$\cos{B} = \frac{56}{88} = \frac{7}{11}$

$x^2 = 18 + 18 \cdot \frac{7}{11} = 18 + \frac{126}{11} = \frac{198+126}{11} = \frac{324}{11}$

$x = \sqrt{\frac{324}{11}} = \frac{18}{\sqrt{11}}$

三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sqrt{1 - \cos^2{B}} = \frac{35}{2} \sqrt{1 - (\frac{7}{11})^2} = \frac{35}{2} \sqrt{1 - \frac{49}{121}} = \frac{35}{2} \sqrt{\frac{72}{121}} = \frac{35}{2} \cdot \frac{6\sqrt{2}}{11} = \frac{105\sqrt{2}}{11}$

三角形ADCの面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{D} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin{(180^{\circ}-B)} = \frac{9}{2} \sin{B} = \frac{9}{2} \cdot \frac{6\sqrt{2}}{11} = \frac{27\sqrt{2}}{11}$

四角形ABCDの面積は、

$\frac{105\sqrt{2}}{11} + \frac{27\sqrt{2}}{11} = \frac{132\sqrt{2}}{11} = 12\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$12\sqrt{2}$