(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y = 0$ の中心の座標を求める。 (2) 円 $C: x^2 + y^2 = 4$ が直線 $l: y = 2x + 1$ から切り取る線分の長さを求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y = 0$ の中心の座標を求める。

(2) 円 $C: x^2 + y^2 = 4$ が直線 $l: y = 2x + 1$ から切り取る線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を平方完成する。

$x^2 - 3x + y^2 + 5y = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{34}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{17}{2}$

よって、中心の座標は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ である。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $2$ である。

直線 $y = 2x + 1$ と円の交点を求めるために、直線の方程式を円の方程式に代入する。

$x^2 + (2x + 1)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 4$

$5x^2 + 4x - 3 = 0$

この2次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = -\frac{4}{5}$

$x_1 x_2 = -\frac{3}{5}$

2つの交点の座標は $(x_1, 2x_1 + 1), (x_2, 2x_2 + 1)$ である。

線分の長さ $L$ は、2点間の距離の公式を用いて計算できる。

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (2x_2 + 1 - (2x_1 + 1))^2}$

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (2x_2 - 2x_1)^2}$

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 4(x_2 - x_1)^2}$

$L = \sqrt{5(x_2 - x_1)^2}$

$L = \sqrt{5}\sqrt{(x_2 - x_1)^2}$

$L = \sqrt{5}\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$

$L = \sqrt{5}\sqrt{(-\frac{4}{5})^2 - 4(-\frac{3}{5})}$

$L = \sqrt{5}\sqrt{\frac{16}{25} + \frac{12}{5}}$

$L = \sqrt{5}\sqrt{\frac{16}{25} + \frac{60}{25}}$

$L = \sqrt{5}\sqrt{\frac{76}{25}}$

$L = \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{76}}{5}$

$L = \frac{\sqrt{380}}{5}$

$L = \frac{\sqrt{4 \cdot 95}}{5}$

$L = \frac{2\sqrt{95}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$

(2) $\frac{2\sqrt{95}}{5}$