(1) $xy + 3x - 4y = 7$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ。 (2) $x^2 - 4y^2 = 32$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ。 (3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ ($x \geq y$) を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ。 (4) $\sqrt{n^2 + 40}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

(1) $xy + 3x - 4y = 7$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ。

(2) $x^2 - 4y^2 = 32$ を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ。

(3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ ($x \geq y$) を満たす自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ。

(4) $\sqrt{n^2 + 40}$ が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $xy + 3x - 4y = 7$ を変形して、$(x-4)(y+3) + 12 = 7$ より、$(x-4)(y+3) = -5$ となる。$x, y$ は自然数であるから、$y+3 > 3$ である。したがって、$x-4 = -1$ かつ $y+3 = 5$ となる。よって、$x=3$ かつ $y=2$。

(2) $x^2 - 4y^2 = 32$ を変形して、$(x-2y)(x+2y) = 32$ となる。$x, y$ は自然数であるから、$x+2y > 0$ である。また、$x+2y > x-2y$である。$32$ の約数の組で、$x+2y$ と $x-2y$ が両方とも偶数となる組を考えると、

$(x-2y, x+2y) = (2, 16), (4, 8)$ となる。

$(x-2y, x+2y) = (2, 16)$ のとき、$2x = 18$ より $x=9$, $4y = 14$ より $y = \frac{7}{2}$ となり、$y$ が自然数にならない。

$(x-2y, x+2y) = (4, 8)$ のとき、$2x = 12$ より $x=6$, $4y = 4$ より $y = 1$ となり、$x, y$ は自然数となる。

(3) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$ を変形して、$5y + 5x = xy$ より、$xy - 5x - 5y = 0$。$(x-5)(y-5) - 25 = 0$ より、$(x-5)(y-5) = 25$ となる。$x \geq y$ であるから、$x-5 \geq y-5$ である。$25$ の約数の組を考えると、

$(x-5, y-5) = (25, 1), (5, 5)$ となる。

$(x-5, y-5) = (25, 1)$ のとき、$x=30$, $y=6$ となり、$x, y$ は自然数となる。

$(x-5, y-5) = (5, 5)$ のとき、$x=10$, $y=10$ となり、$x, y$ は自然数となる。

(4) $\sqrt{n^2 + 40} = m$ となる自然数 $m$ が存在するとする。$n^2 + 40 = m^2$ より、$m^2 - n^2 = 40$。$(m-n)(m+n) = 40$ となる。$m, n$ は自然数であるから、$m+n > 0$ である。また、$m+n > m-n$である。$40$ の約数の組で、$m+n$ と $m-n$ が両方とも偶数となる組を考えると、

$(m-n, m+n) = (2, 20), (4, 10)$ となる。

$(m-n, m+n) = (2, 20)$ のとき、$2m = 22$ より $m=11$, $2n = 18$ より $n = 9$ となり、$n, m$ は自然数となる。

$(m-n, m+n) = (4, 10)$ のとき、$2m = 14$ より $m=7$, $2n = 6$ より $n = 3$ となり、$n, m$ は自然数となる。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (3, 2)$

(2) $(x, y) = (6, 1)$

(3) $(x, y) = (30, 6), (10, 10)$

(4) $n = 9, 3$