与えられた行列に数回の行基本変形を施して単位行列に変形する過程が説明されています。途中段階の行列 $A_1, A_2, A_3, A_4$ が生成され、最後にどのような操作をすれば単位行列になるかを答えます。

1. 問題の内容

与えられた行列に数回の行基本変形を施して単位行列に変形する過程が説明されています。途中段階の行列 $A_1, A_2, A_3, A_4$ が生成され、最後にどのような操作をすれば単位行列になるかを答えます。

2. 解き方の手順

与えられた行列を $A$ とします。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 10 & -4 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引くと、$A_1$になります。

$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 - 2(1) & 0 - 2(3) & -1 - 2(-1) \\ 3 - 3(1) & 10 - 3(3) & -4 - 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & -6 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

次に、2行目と3行目を入れ替えると、$A_2$ になります。

$A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -6 & 1 \end{pmatrix}$

次に、1行目から2行目の3倍を引き、3行目には2行目の6倍を足すと、$A_3$になります。

$A_3 = \begin{pmatrix} 1 - 3(0) & 3 - 3(1) & -1 - 3(-1) \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 + 6(0) & -6 + 6(1) & 1 + 6(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}$

次に、3行目を-5で割ると、$A_4$になります。

$A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、$A_4$を単位行列にするために、1行目から3行目の2倍を引き、2行目に3行目を足します。

これにより、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

したがって、最後の操作は、「1行目から3行目の2倍を引き、2行目に3行目を足す」です。

3. 最終的な答え

1行目から3行目の2倍を引き、2行目に3行目を足す。