画像には3つの命題が書かれています。 1. 実数 $a, b$ について、$a^2 = b^2$ ならば $a = b$

1. 問題の内容

画像には3つの命題が書かれています。

1. 実数 $a, b$ について、$a^2 = b^2$ ならば $a = b$

2. 実数 $x$ について、$|x| < 3$ ならば $x < 3$

3. 実数 $x$ について、$x < 1$ ならば $|x| < 1$

これらの命題が正しいかどうかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの命題について、反例を挙げるか、または証明することで真偽を判断します。

命題1: $a^2 = b^2$ ならば $a = b$

$a^2 = b^2$ は $a^2 - b^2 = 0$ と同値です。

これは $(a - b)(a + b) = 0$ と因数分解できます。

したがって、$a = b$ または $a = -b$ です。

$a = -b$ の場合、$a \neq b$ となり得ます。

例えば、$a = 1, b = -1$ とすると、$a^2 = 1, b^2 = 1$ であり、$a^2 = b^2$ ですが、$a \neq b$ です。

したがって、この命題は偽です。

命題2: $|x| < 3$ ならば $x < 3$

$|x| < 3$ は $-3 < x < 3$ と同値です。

したがって、$x < 3$ は常に成り立ちます。

例えば、$x = -2$ ならば $|x| = 2 < 3$ であり、$x = -2 < 3$ です。

また、$x = 2$ ならば $|x| = 2 < 3$ であり、$x = 2 < 3$ です。

したがって、この命題は真です。

命題3: $x < 1$ ならば $|x| < 1$

$x < 1$ であるとき、$|x| < 1$ が常に成り立つわけではありません。

例えば、$x = -2$ とすると、$x = -2 < 1$ ですが、$|x| = |-2| = 2$ であり、$|x| > 1$ です。

したがって、この命題は偽です。

3. 最終的な答え

1. $a^2 = b^2$ ならば $a = b$：偽

2. $|x| < 3$ ならば $x < 3$：真

3. $x < 1$ ならば $|x| < 1$：偽