集合 $A = \{2, 5, a^2\}$、集合 $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$、共通部分 $A \cap B = \{5, 9\}$ が与えられている。 (1) 定数 $a, b$ の値を求める。 (2) 和集合 $A \cup B$ を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{2, 5, a^2\}$、集合 $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$、共通部分 $A \cap B = \{5, 9\}$ が与えられている。

(1) 定数 $a, b$ の値を求める。

(2) 和集合 $A \cup B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$A \cap B = \{5, 9\}$ より、$A$ は $5$ と $9$ を要素に持つ。

したがって、$a^2 = 9$ または $a^2 = 5$ となる。

$A$ の要素は整数なので、$a^2 = 9$ である。よって、$a = \pm 3$。

(i) $a = 3$ のとき、

$B = \{4, 3-1, 3+b, 9\} = \{4, 2, 3+b, 9\}$

$A \cap B = \{5, 9\}$ であることから、$5 \notin B$ であり、$2 \in A$ であるが $2 \notin A \cap B$ なので $2 \notin B$でなければならない。

しかし、$a = 3$ のとき、$B$ は $2$ を要素に持つので矛盾。

(ii) $a = -3$ のとき、

$B = \{4, -3-1, -3+b, 9\} = \{4, -4, -3+b, 9\}$

$A \cap B = \{5, 9\}$ であることから、$5 \in A$ であり、$5 \in B$ でなければならない。

したがって、$-3+b = 5$ より、$b = 8$。

このとき、$B = \{4, -4, 5, 9\}$ となり、$5, 9$ を含むので条件を満たす。

(2)

$a = -3, b = 8$ より、$A = \{2, 5, 9\}$、$B = \{4, -4, 5, 9\}$。

$A \cup B = \{2, 5, 9, 4, -4\}$ となる。

重複する要素をまとめると、$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, b = 8$

(2) $A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$