問題は次の2つの和を求めることです。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ (2) $\sum_{k=1}^{n-1} 6^k$

1. 問題の内容

問題は次の2つの和を求めることです。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 6^k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (5k+4)$ を求める。

まず、シグマ記号の性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 4$

次に、定数倍の性質を利用して、5をシグマ記号の外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 5k = 5 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は $1$ から $n$ までの自然数の和であり、$\frac{n(n+1)}{2}$ で表されます。

$\sum_{k=1}^{n} 4$ は $4$ を $n$ 回足すことになるので、$4n$ となります。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (5k+4) = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{8n}{2}$

$= \frac{5n^2 + 5n + 8n}{2}$

$= \frac{5n^2 + 13n}{2}$

(2) $\sum_{k=1}^{n-1} 6^k$ を求める。

この和は、初項 $6$, 公比 $6$, 項数 $n-1$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ です。

ここで、$a = 6$, $r = 6$, $n$ は $n-1$ に置き換えます。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} 6^k = \frac{6(6^{n-1} - 1)}{6-1}$

$= \frac{6(6^{n-1} - 1)}{5}$

$= \frac{6^n - 6}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5n^2 + 13n}{2}$

(2) $\frac{6^n - 6}{5}$