与えられた数学の問題は以下の4つの小問から構成されています。 (1) $a = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$a + \frac{2}{a}$ と $a^2 + \frac{2}{a^2}$ の値を求めよ。 (2) 頂点が $(1, 3)$ で、点 $(-1, -5)$ を通る放物線の2次関数を求めよ。 (3) 10人の小テストの得点データが与えられたとき、中央値と第1四分位数を求めよ。 (4) $AB = 3$, $\angle A = 60^\circ$ の $\triangle ABC$ があり、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\frac{\sqrt{39}}{3}$ であるとき、$BC$ と $AC$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は以下の4つの小問から構成されています。

(1) $a = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$a + \frac{2}{a}$ と $a^2 + \frac{2}{a^2}$ の値を求めよ。

(2) 頂点が $(1, 3)$ で、点 $(-1, -5)$ を通る放物線の2次関数を求めよ。

(3) 10人の小テストの得点データが与えられたとき、中央値と第1四分位数を求めよ。

(4) $AB = 3$, $\angle A = 60^\circ$ の $\triangle ABC$ があり、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\frac{\sqrt{39}}{3}$ であるとき、$BC$ と $AC$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$a + \frac{2}{a}$ を計算します。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{2-\sqrt{2}} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{2} = 2+\sqrt{2}$

したがって、$a + \frac{2}{a} = (2-\sqrt{2}) + (2+\sqrt{2}) = 4$

次に、$a^2 + \frac{2}{a^2}$ を計算します。

$a^2 = (2-\sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}$

$\frac{2}{a^2} = \frac{2}{6-4\sqrt{2}} = \frac{2(6+4\sqrt{2})}{(6-4\sqrt{2})(6+4\sqrt{2})} = \frac{2(6+4\sqrt{2})}{36-32} = \frac{2(6+4\sqrt{2})}{4} = \frac{6+4\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{2}$

したがって、$a^2 + \frac{2}{a^2} = (6-4\sqrt{2}) + (3+2\sqrt{2}) = 9 - 2\sqrt{2}$

(2)

頂点が $(1, 3)$ なので、2次関数は $y = k(x-1)^2 + 3$ と表されます。

このグラフが点 $(-1, -5)$ を通るので、

$-5 = k(-1-1)^2 + 3 = 4k + 3$

$4k = -8$

$k = -2$

したがって、$y = -2(x-1)^2 + 3 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3 = -2x^2 + 4x - 2 + 3 = -2x^2 + 4x + 1$

(3)

データは $7, 5, 8, 6, 7, 1, 10, 4, 3, 9$ です。

まず、データを小さい順に並べます: $1, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10$

データの数は10個なので、中央値は5番目と6番目の値の平均です。

中央値 = $\frac{6+7}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$

第1四分位数は、データの小さい方から25%の位置にある値です。

データの数が10個なので、25%は2.5個目にあたります。

したがって、第1四分位数は、2番目の値と3番目の値の中間の値になります。

第1四分位数 = $\frac{3+4}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

(4)

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ が成り立つので、$BC = 2R\sin A = 2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{3} \cdot \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{117}}{3} = \frac{\sqrt{9 \cdot 13}}{3} = \frac{3\sqrt{13}}{3} = \sqrt{13}$

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$ が成り立つので、

$13 = 3^2 + AC^2 - 2 \cdot 3 \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 9 + AC^2 - 6 \cdot AC \cdot \frac{1}{2} = 9 + AC^2 - 3AC$

$AC^2 - 3AC - 4 = 0$

$(AC - 4)(AC + 1) = 0$

$AC > 0$ なので、$AC = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a + \frac{2}{a} = 4$ , $a^2 + \frac{2}{a^2} = 9 - 2\sqrt{2}$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 1$

(3) 中央値: 6.5, 第1四分位数: 3.5

(4) $BC = \sqrt{13}$, $AC = 4$