画像にある問題の中から、3.(1)の行列が対角化可能かどうか判定し、可能であれば対角化する問題を選んで解答します。問題の行列を$A$とすると、$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$です。

1. 問題の内容

画像にある問題の中から、3.(1)の行列が対角化可能かどうか判定し、可能であれば対角化する問題を選んで解答します。問題の行列を$A$とすると、$A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$です。

2. 解き方の手順

まず、行列$A$の固有値を求めます。固有方程式は、$det(A - \lambda I) = 0$です。ここで、$I$は単位行列、$\lambda$は固有値を表します。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 5 & 1 \\ 4 & -\lambda & 1 \\ 0 & 0 & -4-\lambda \end{pmatrix}$

固有方程式は以下のようになります。

$det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(-\lambda)(-4-\lambda) - 5(4)(-4-\lambda) + 1(0) - 1(0) - (1-\lambda)(0)(1) - 5(4)(-4-\lambda)=0$

$(-4-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda) - 20) = 0$

$(-4-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 20) = 0$

$(-4-\lambda)(\lambda - 5)(\lambda + 4) = 0$

したがって、固有値は$\lambda_1 = -4$, $\lambda_2 = 5$, $\lambda_3 = -4$です。

固有値$\lambda = -4$は重複度2を持つため、固有空間の次元を調べます。

$A - (-4)I = A + 4I = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この行列のランクは2です。したがって、固有値-4に対応する固有空間の次元は、$3 - 2 = 1$です。

固有値-4に対する固有空間の次元が重複度2より小さいため、行列$A$は対角化不可能であると結論付けることができます。

3. 最終的な答え

与えられた行列は対角化不可能である。