2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、 $3\alpha, 3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、 $3\alpha, 3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2x + 5 = 0$ の解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 5$

である。

次に、$3\alpha, 3\beta$ を解とする2次方程式を考える。その2次方程式を $x^2 + px + q = 0$ とおく。

解と係数の関係から、

$3\alpha + 3\beta = -p$

$(3\alpha)(3\beta) = q$

である。

したがって、

$p = -3(\alpha + \beta) = -3(-2) = 6$

$q = 9\alpha\beta = 9(5) = 45$

よって、求める2次方程式は

$x^2 + 6x + 45 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 6x + 45 = 0$