不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k - 1 < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k - 1 < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、二次不等式の解がすべての実数となる条件を求める問題です。

まず、$x^2$ の係数である $k-1$ の符号によって場合分けして考えます。

(i) $k-1 = 0$ のとき、つまり $k=1$ のとき

不等式は $2(1+1)x + 2(1) - 1 < 0$、つまり $4x + 1 < 0$ となります。

これは $x < -\frac{1}{4}$ を満たす $x$ に対して不等式が成り立つことを意味し、すべての実数 $x$ で成り立つわけではありません。よって、$k=1$ は条件を満たしません。

(ii) $k-1 < 0$ のとき、つまり $k < 1$ のとき

二次不等式 $(k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k - 1 < 0$ の解がすべての実数であるためには、放物線 $y = (k-1)x^2 + 2(k+1)x + 2k - 1$ が常に $x$ 軸より下にある必要があります。

これは、$k-1 < 0$ であることに加えて、判別式 $D$ が $D < 0$ であることが条件となります。

判別式 $D$ は、$D/4 = (k+1)^2 - (k-1)(2k-1) = k^2 + 2k + 1 - (2k^2 - 3k + 1) = -k^2 + 5k$ となります。

したがって、$D/4 = -k^2 + 5k < 0$ が必要です。

$-k^2 + 5k < 0$ を解くと、$k^2 - 5k > 0$ より $k(k-5) > 0$ となり、$k < 0$ または $k > 5$ が得られます。

$k < 1$ という条件と、$k < 0$ または $k > 5$ という条件を組み合わせると、$k < 0$ となります。

3. 最終的な答え

$k < 0$