$|a|<1$, $|b|<1$, $|c|<1$ を満たす実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式を証明します。 (1) $ab + 1 > a + b$ (2) $abc + 1 > a + bc$ (3) $abc + 2 > a + b + c$

1. 問題の内容

$|a|<1$, $|b|<1$, $|c|<1$ を満たす実数 $a, b, c$ に対して、次の不等式を証明します。

(1) $ab + 1 > a + b$

(2) $abc + 1 > a + bc$

(3) $abc + 2 > a + b + c$

2. 解き方の手順

(1)

$ab + 1 - (a + b) = (a - 1)(b - 1)$

$|a|<1$, $|b|<1$ より $-1 < a < 1$, $-1 < b < 1$ です。

したがって、$a-1 < 0$ かつ $b-1 < 0$ なので $(a - 1)(b - 1) > 0$ です。

よって、$ab + 1 > a + b$ が成り立ちます。

(2)

$abc + 1 - (a + bc) = a(bc - 1) - (bc - 1) = (a - 1)(bc - 1)$

$|a|<1$, $|b|<1$, $|c|<1$ より $-1 < a < 1$, $-1 < b < 1$, $-1 < c < 1$ です。

したがって、$a-1 < 0$ かつ $-1 < bc < 1$ なので、$bc-1 < 0$ です。

よって、$(a - 1)(bc - 1) > 0$ となり、$abc + 1 > a + bc$ が成り立ちます。

(3)

$abc + 2 - (a + b + c) = abc - a + 1 - b + 1 - c = a(bc - 1) + (1 - b) + (1 - c)$

(2)より、$abc+1 > a+bc$ が成り立つことを利用します。

また、$|a| < 1, |b| < 1, |c| < 1$ より、$1-b > 0$ かつ $1-c > 0$ が成り立ちます。

$abc + 2 - (a + b + c) = (abc + 1 - a - bc) + (1 + bc - b - c) = (a - 1)(bc - 1) + (1 - b)(1 - c)$

$|a| < 1, |b| < 1, |c| < 1$より、$a - 1 < 0$, $bc - 1 < 0$, $1 - b > 0$, $1 - c > 0$

したがって$(a - 1)(bc - 1) > 0$, $(1 - b)(1 - c) > 0$

よって、$abc + 2 - (a + b + c) > 0$ となり、$abc + 2 > a + b + c$ が成り立ちます。

別の解き方：

$abc + 2 - (a + b + c) = abc - a + 2 - b - c = a(bc - 1) - (b + c - 2)$

$|a| < 1$ より $-1 < a < 1$ なので、$a(bc - 1) > bc - 1$ または $a(bc - 1) < bc - 1$

(1) の結果より、$ab + 1 > a + b$ です。この式の $a$ を $ac$ に置き換えると、$abc + 1 > ac + b$

$abc + 2 - (a + b + c) = (abc + 1 - a - bc) + (1 + bc - b - c) = (a - 1)(bc - 1) + (1 - b)(1 - c)$

$|a| < 1, |b| < 1, |c| < 1$ より、$a - 1 < 0, bc - 1 < 0, 1 - b > 0, 1 - c > 0$

したがって、$(a - 1)(bc - 1) > 0$, $(1 - b)(1 - c) > 0$

$abc + 2 - (a + b + c) > 0$ なので、$abc + 2 > a + b + c$

3. 最終的な答え

(1) $ab + 1 > a + b$ は成り立つ。

(2) $abc + 1 > a + bc$ は成り立つ。

(3) $abc + 2 > a + b + c$ は成り立つ。