放物線 $y = 2x^2$ と直線が、x座標が-1である点Aと、x座標が正である点Bで交わっている。この直線の切片は6であるとき、以下の問いに答える。 (1) この直線の方程式を求めなさい。 (2) 三角形OABの面積を求めなさい。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ と直線が、x座標が-1である点Aと、x座標が正である点Bで交わっている。この直線の切片は6であるとき、以下の問いに答える。

(1) この直線の方程式を求めなさい。

(2) 三角形OABの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直線の方程式を求める。

点Aの座標を求める。点Aは放物線 $y=2x^2$ 上にあり、x座標が-1なので、$x=-1$を代入すると、$y = 2(-1)^2 = 2$。よって、点Aの座標は$(-1, 2)$。

直線の切片は6なので、直線の式を$y = ax + 6$とおく。

この直線は点Aを通るので、点Aの座標$(-1, 2)$を代入すると、$2 = a(-1) + 6$。これを解くと、$a = 4$。

したがって、直線の方程式は$y = 4x + 6$。

(2) 三角形OABの面積を求める。

点Bの座標を求める。点Bは放物線 $y=2x^2$ と直線 $y=4x+6$ の交点なので、連立方程式を解く。

$2x^2 = 4x + 6$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

点Bのx座標は正なので、$x = 3$。このとき、$y = 2(3)^2 = 18$。よって、点Bの座標は$(3, 18)$。

三角形OABの面積を求める。

点A(-1, 2), 点B(3, 18), 点O(0, 0)

三角形の面積を求める公式を使う。

面積 = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

面積 = $\frac{1}{2} |(-1)(18 - 0) + (3)(0 - 2) + (0)(2 - 18)|$

面積 = $\frac{1}{2} |(-1)(18) + (3)(-2) + 0|$

面積 = $\frac{1}{2} |-18 - 6|$

面積 = $\frac{1}{2} |-24|$

面積 = $\frac{1}{2} (24)$

面積 = 12

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x + 6$

(2) 12