$x$ の2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $k$ を $m$ の式で表す。 (2) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

$x$ の2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $k$ を $m$ の式で表す。

(2) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ を平方完成します。

$y = x^2 + 2mx + 3m = (x + m)^2 - m^2 + 3m$

よって、頂点の座標は $(-m, -m^2 + 3m)$ となります。

この2次関数は下に凸なので、最小値は頂点の $y$ 座標です。

したがって、$k = -m^2 + 3m$ となります。

(2) $k = -m^2 + 3m$ を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めます。

$k = -m^2 + 3m$ を平方完成します。

$k = -(m^2 - 3m) = -(m - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、$m = \frac{3}{2}$ のとき、$k$ は最大値 $\frac{9}{4}$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $k = -m^2 + 3m$

(2) $m = \frac{3}{2}$ のとき、$k$ の最大値は $\frac{9}{4}$