$x$を実数とする。$A = x^2 - 2x$とおくとき、$A$の最小値と、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$の最小値を求める問題。

1. 問題の内容

$x$を実数とする。$A = x^2 - 2x$とおくとき、$A$の最小値と、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$の最小値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$A = x^2 - 2x$の最小値を求める。$A$を平方完成すると、

$A = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$

$x$は実数なので、$(x - 1)^2 \geq 0$。したがって、$A$の最小値は$-1$となる。

次に、$y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x)$の最小値を求める。$A = x^2 - 2x$とおくと、

$y = A^2 + 4A$

これを平方完成すると、

$y = (A + 2)^2 - 4$

$A$の最小値は$-1$なので、$A \geq -1$。したがって、$A + 2 \geq 1$となり、$(A+2)^2 \geq 1$。

$y$の最小値は、$A = -1$のときではない。

$y=(A+2)^2-4$

Aは、$x^2-2x$で、$x$が実数なので、全ての実数を取り得る。

Aの範囲が-1以上の時、$A=-2$の時、$y$は最小値を取る。

$y = (-2+2)^2-4$

$y=-4$

3. 最終的な答え

$A$の最小値は -1である。

$y$の最小値は -4である。