関数 $y = ax + b$ （$-1 \le x \le 1$）の値域が $-3 \le y \le 1$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ （$-1 \le x \le 1$）の値域が $-3 \le y \le 1$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a < 0$ より、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。したがって、区間 $-1 \le x \le 1$ において、

$x = -1$ のとき最大値 $f(-1) = -a + b$ をとり、

$x = 1$ のとき最小値 $f(1) = a + b$ をとる。

したがって、$a+b=-3$かつ$-a+b=1$が成り立つ。

連立方程式

\begin{align*}

a + b &= -3 \\

-a + b &= 1

\end{align*}

を解く。

2つの式を足し合わせると、

$2b = -2$

よって、$b = -1$

$b = -1$を$a+b=-3$に代入すると、

$a - 1 = -3$

よって、$a = -2$

$a = -2 < 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = -1$