初項から第$n$項までの和 $S_n = 3n^2 - 2n$ で表される数列$\{a_n\}$の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第$n$項までの和 $S_n = 3n^2 - 2n$ で表される数列$\{a_n\}$の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、以下の公式を利用します。

$n \geq 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$のとき、$a_1 = S_1$

まず、$S_1$を計算します。

$S_1 = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

したがって、$a_1 = 1$

次に、$n \geq 2$のときの$a_n$を計算します。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = 3n^2 - 2n$

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 - 2(n-1) = 3(n^2 - 2n + 1) - 2n + 2 = 3n^2 - 6n + 3 - 2n + 2 = 3n^2 - 8n + 5$

よって、

$a_n = (3n^2 - 2n) - (3n^2 - 8n + 5) = 3n^2 - 2n - 3n^2 + 8n - 5 = 6n - 5$

$a_n = 6n - 5$が$n=1$のときにも成り立つか確認します。

$a_1 = 6(1) - 5 = 6 - 5 = 1$

これは、$S_1 = a_1 = 1$と一致するので、$a_n = 6n - 5$は$n \geq 1$で成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 6n - 5$