与えられた式 $x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、定数項を展開します。

$-(3a-1)(2a+1) = -(6a^2 + 3a - 2a - 1) = -(6a^2 + a - 1)$

次に、因数分解できるかを確認します。

$x^2 + (a-2)x - (6a^2 + a - 1)$

$6a^2 + a - 1$を因数分解します。

$6a^2 + a - 1 = (2a+1)(3a-1)$

与えられた式を因数分解するために、足して$a-2$、掛けて$-(6a^2 + a - 1)$になる2つの式を探します。

$6a^2 + a - 1 = (2a+1)(3a-1)$ なので、

$-(6a^2 + a - 1) = -(2a+1)(3a-1)$

ここで、$x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1) = (x + m)(x + n)$ とすると、

$m + n = a-2$ かつ $mn = -(3a-1)(2a+1)$ となる $m$ と $n$ を見つける必要があります。

ここで、$m = 3a-1$、$n = -(2a+1)$ とすると、

$m+n = (3a-1) + (-2a-1) = 3a - 1 - 2a - 1 = a - 2$

$mn = (3a-1)(-2a-1) = -(3a-1)(2a+1)$

したがって、

$x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1) = (x + (3a-1))(x - (2a+1))$

3. 最終的な答え

$(x + 3a - 1)(x - 2a - 1)$