以下の3つの問題について、与えられた条件を満たす定数 $c$ の値を求めます。 (1) 関数 $y=x^2-2x+c$ ($-2 \le x \le 2$) の最大値が5である。 (2) 関数 $y=x^2+4x+c$ ($-1 \le x \le 0$) の最小値が-1である。 (3) 関数 $y=-x^2+6x+c$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が-3である。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題について、与えられた条件を満たす定数 $c$ の値を求めます。

(1) 関数 $y=x^2-2x+c$ ($-2 \le x \le 2$) の最大値が5である。

(2) 関数 $y=x^2+4x+c$ ($-1 \le x \le 0$) の最小値が-1である。

(3) 関数 $y=-x^2+6x+c$ ($1 \le x \le 4$) の最大値が-3である。

2. 解き方の手順

(1) $y=x^2-2x+c$ を平方完成すると、$y=(x-1)^2-1+c$ となります。

定義域 $-2 \le x \le 2$ において、軸 $x=1$ は定義域に含まれます。この放物線は下に凸であるため、$x=-2$ で最大値をとります。

したがって、$y(-2)=(-2)^2-2(-2)+c=4+4+c=8+c=5$ より、$c=-3$。

(2) $y=x^2+4x+c$ を平方完成すると、$y=(x+2)^2-4+c$ となります。

定義域 $-1 \le x \le 0$ において、軸 $x=-2$ は定義域に含まれません。この放物線は下に凸であるため、$x=-1$ で最小値をとります。

したがって、$y(-1)=(-1)^2+4(-1)+c=1-4+c=-3+c=-1$ より、$c=2$。

(3) $y=-x^2+6x+c$ を平方完成すると、$y=-(x-3)^2+9+c$ となります。

定義域 $1 \le x \le 4$ において、軸 $x=3$ は定義域に含まれます。この放物線は上に凸であるため、$x=3$ で最大値をとります。

したがって、$y(3)=-(3)^2+6(3)+c=-9+18+c=9+c=-3$ より、$c=-12$。

3. 最終的な答え

(1) $c = -3$

(2) $c = 2$

(3) $c = -12$