関数 $y=ax+b$ ($-1 \le x \le 1$) の値域が $-3 \le y \le 1$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y=ax+b$ ($-1 \le x \le 1$) の値域が $-3 \le y \le 1$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a < 0$ より、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。したがって、$x=-1$ のとき最大値 $1$ をとり、$x=1$ のとき最小値 $-3$ をとる。

よって、以下の連立方程式が成り立つ。

$$-a + b = 1$$

$$a + b = -3$$

上記の二つの式を足し合わせると、

$$2b = -2$$

$$b = -1$$

$b = -1$ を $a + b = -3$ に代入すると、

$$a - 1 = -3$$

$$a = -2$$

したがって、$a = -2$、 $b = -1$ である。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = -1$