問題文より、以下の2つの問題があります。 (1) 方程式 $2a - 3x = ax - 6$ を解く。ただし、$a$ は定数。 (2) 不等式 $4ax + 1 < 2x + 2a$ を解く。ただし、$a$ は定数。

1. 問題の内容

問題文より、以下の2つの問題があります。

(1) 方程式 $2a - 3x = ax - 6$ を解く。ただし、$a$ は定数。

(2) 不等式 $4ax + 1 < 2x + 2a$ を解く。ただし、$a$ は定数。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $2a - 3x = ax - 6$ を解く。

まず、$x$を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項します。

$-3x - ax = -6 - 2a$

次に、左辺を $x$ でくくります。

$(-3 - a)x = -6 - 2a$

両辺を $(-3 - a)$ で割ります。ただし、$a = -3$ の場合は場合分けが必要です。

$a \neq -3$ のとき、

$x = \frac{-6 - 2a}{-3 - a} = \frac{2(a + 3)}{a + 3} = 2$

$a = -3$ のとき、

$(-3 - (-3))x = -6 - 2(-3)$

$0x = -6 + 6$

$0x = 0$

この場合、$x$ は任意の実数となります。

(2) 不等式 $4ax + 1 < 2x + 2a$ を解く。

まず、$x$を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項します。

$4ax - 2x < 2a - 1$

次に、左辺を $x$ でくくります。

$(4a - 2)x < 2a - 1$

両辺を $(4a - 2)$ で割ります。$(4a - 2)$ の符号によって不等号の向きが変わるため、場合分けが必要です。

$4a - 2 > 0$、つまり $a > \frac{1}{2}$ のとき、

$x < \frac{2a - 1}{4a - 2} = \frac{2a - 1}{2(2a - 1)} = \frac{1}{2}$

$4a - 2 < 0$、つまり $a < \frac{1}{2}$ のとき、

$x > \frac{2a - 1}{4a - 2} = \frac{2a - 1}{2(2a - 1)} = \frac{1}{2}$

$4a - 2 = 0$、つまり $a = \frac{1}{2}$ のとき、

$(4(\frac{1}{2}) - 2)x < 2(\frac{1}{2}) - 1$

$0x < 0$

この場合、不等式を満たす $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1)

$a \neq -3$ のとき、$x = 2$

$a = -3$ のとき、すべての実数

(2)

$a > \frac{1}{2}$ のとき、$x < \frac{1}{2}$

$a < \frac{1}{2}$ のとき、$x > \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2}$ のとき、解なし