与えられた数 $A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$ に対して、以下の問いに答える問題です。 (1) $A$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $A$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ のそれぞれの値を求めよ。 (3) (2) で求めた $a$、$b$ の値を用いて、$a^2 - b^2 - 4a - 4b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数 $A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$ に対して、以下の問いに答える問題です。

(1) $A$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $A$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ のそれぞれの値を求めよ。

(3) (2) で求めた $a$、$b$ の値を用いて、$a^2 - b^2 - 4a - 4b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}+1$ を掛けます。

$$A = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$$

(2) 整数部分と小数部分の計算

$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ を満たします。実際、$\sqrt{4} = 2$ であり、$\sqrt{9} = 3$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ です。

したがって、$3 < \sqrt{5}+1 < 4$ となります。

$A = \sqrt{5}+1$ の整数部分 $a$ は $3$ であり、小数部分 $b$ は $(\sqrt{5}+1) - 3 = \sqrt{5}-2$ となります。

よって、$a = 3$、$b = \sqrt{5}-2$ です。

(3) 式の値の計算

$a = 3$、$b = \sqrt{5}-2$ を $a^2 - b^2 - 4a - 4b$ に代入して計算します。

\begin{align*} a^2 - b^2 - 4a - 4b &= a^2 - 4a - (b^2 + 4b) \\ &= 3^2 - 4(3) - ((\sqrt{5}-2)^2 + 4(\sqrt{5}-2)) \\ &= 9 - 12 - ((5 - 4\sqrt{5} + 4) + (4\sqrt{5} - 8)) \\ &= -3 - (9 - 4\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 8) \\ &= -3 - (9 - 8) \\ &= -3 - 1 \\ &= -4\end{aligned}

3. 最終的な答え

(1) $A = \sqrt{5}+1$

(2) $a = 3$, $b = \sqrt{5}-2$

(3) $a^2 - b^2 - 4a - 4b = -4$