方程式 $4^x = 8 \cdot 2^x$ を解く。

## 問題の解答

以下に、提示された問題の解答を示します。

### (1) 次の方程式、不等式を解け。

#### (ア) $4^x = 8 \cdot 2^x$

1. **問題の内容**

方程式 $4^x = 8 \cdot 2^x$ を解く。

2. **解き方の手順**

両辺を2の累乗で表す。

$(2^2)^x = 2^3 \cdot 2^x$

$2^{2x} = 2^{x+3}$

指数部分が等しくなるので、

$2x = x + 3$

$x = 3$

3. **最終的な答え**

$x = 3$

#### (イ) $3^{2x+1} + 17 \cdot 3^x - 6 < 0$

1. **問題の内容**

不等式 $3^{2x+1} + 17 \cdot 3^x - 6 < 0$ を解く。

2. **解き方の手順**

$3^x = t$ と置換すると、$t > 0$

$3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2 = 3t^2$

不等式は $3t^2 + 17t - 6 < 0$ となる。

$(3t-1)(t+6) < 0$

$-6 < t < \frac{1}{3}$

$t > 0$ より $0 < t < \frac{1}{3}$

$0 < 3^x < \frac{1}{3} = 3^{-1}$

よって $x < -1$

3. **最終的な答え**

$x < -1$

#### (ウ) $\log_2(x-3) = \log_4(x-1)$

1. **問題の内容**

方程式 $\log_2(x-3) = \log_4(x-1)$ を解く。

2. **解き方の手順**

真数条件より $x-3 > 0$ かつ $x-1 > 0$ よって $x > 3$

底の変換公式より、$\log_4(x-1) = \frac{\log_2(x-1)}{\log_2 4} = \frac{1}{2} \log_2(x-1)$

$\log_2(x-3) = \frac{1}{2} \log_2(x-1)$

$2\log_2(x-3) = \log_2(x-1)$

$\log_2(x-3)^2 = \log_2(x-1)$

$(x-3)^2 = x-1$

$x^2 - 6x + 9 = x - 1$

$x^2 - 7x + 10 = 0$

$(x-2)(x-5) = 0$

$x = 2, 5$

真数条件より $x > 3$ なので、$x = 5$

3. **最終的な答え**

$x = 5$

#### (エ) $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) > \log_3 x$

1. **問題の内容**

不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) > \log_3 x$ を解く。

2. **解き方の手順**

真数条件より $x-1 > 0$ かつ $x > 0$ よって $x > 1$

底の変換公式より、 $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) = \frac{\log_3(x-1)}{\log_3{\frac{1}{3}}} = -\log_3(x-1)$

$-\log_3(x-1) > \log_3 x$

$\log_3(x-1) < -\log_3 x = \log_3 x^{-1} = \log_3 \frac{1}{x}$

$x-1 < \frac{1}{x}$

$x(x-1) < 1$

$x^2 - x - 1 < 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

真数条件 $x > 1$ より $1 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3. **最終的な答え**

$1 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

### (2) 関数 $y = 4^x - 2^{x+2}$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. **問題の内容**

関数 $y = 4^x - 2^{x+2}$ の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

2. **解き方の手順**

$2^x = t$ と置換すると、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ , $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x = 4t$

$y = t^2 - 4t = (t-2)^2 - 4$

$-1 \le x \le 3$ より $\frac{1}{2} \le t \le 8$

$t = 2$ のとき $y = -4$

$t = 8$ のとき $y = 8^2 - 4 \cdot 8 = 64 - 32 = 32$

$t = \frac{1}{2}$ のとき $y = (\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$

よって、

$x = 1$ のとき $y$ は最小値 $-4$

$x = 3$ のとき $y$ は最大値 $32$

3. **最終的な答え**

最大値：$32$ ($x=3$のとき)

最小値：$-4$ ($x=1$のとき)

### (3) 1回の操作で溶液の不純物の25%を除去できる装置がある。この装置で操作を複数回行い、もとの不純物の98%以上を除去するには、最低何回操作をする必要があるか。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010, \log_{10}3 = 0.4771$ とする。

1. **問題の内容**

1回の操作で不純物の25%が除去される装置で、98%以上を除去するのに必要な最低操作回数を求める。

2. **解き方の手順**

操作を$n$回行うとき、残る不純物の割合は $(1 - 0.25)^n = (0.75)^n = (\frac{3}{4})^n$

98%以上除去したいので、残りの不純物は2%以下である必要がある。

$(\frac{3}{4})^n \le 0.02$

両辺の常用対数をとる。

$n(\log_{10}3 - \log_{10}4) \le \log_{10}0.02$

$n(\log_{10}3 - 2\log_{10}2) \le \log_{10}2 - 2$

$n(0.4771 - 2 \cdot 0.3010) \le 0.3010 - 2$

$n(0.4771 - 0.6020) \le -1.699$

$n(-0.1249) \le -1.699$

$n \ge \frac{1.699}{0.1249} \approx 13.60$

よって、最低14回の操作が必要となる。

3. **最終的な答え**

14回