方程式 $|x - |x-2|| = 1$ を満たす実数 $x$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $|x - |x-2|| = 1$ を満たす実数 $x$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、外側の絶対値を外すことを考えます。

$|x - |x-2|| = 1$ より、

$x - |x-2| = 1$ または $x - |x-2| = -1$ が成り立ちます。

(i) $x - |x-2| = 1$ の場合

$|x-2| = x - 1$

ここで、さらに絶対値を外します。

(a) $x \ge 2$ のとき、 $x-2 = x-1$ となり、$-2 = -1$ となるので、この式は成立しません。したがって、この範囲に解はありません。

(b) $x < 2$ のとき、 $-(x-2) = x-1$ となり、 $-x+2 = x-1$ を解くと、 $2x = 3$ より $x = \frac{3}{2}$ となります。

$x = \frac{3}{2}$ は $x < 2$ の条件を満たすので、解の一つとなります。

(ii) $x - |x-2| = -1$ の場合

$|x-2| = x+1$

ここで、さらに絶対値を外します。

(a) $x \ge 2$ のとき、 $x-2 = x+1$ となり、$-2 = 1$ となるので、この式は成立しません。したがって、この範囲に解はありません。

(b) $x < 2$ のとき、 $-(x-2) = x+1$ となり、 $-x+2 = x+1$ を解くと、 $2x = 1$ より $x = \frac{1}{2}$ となります。

$x = \frac{1}{2}$ は $x < 2$ の条件を満たすので、解の一つとなります。

次に、解の吟味をします。

$|x-2| = x-1$ に戻って考える場合、

$x-1 \ge 0$ つまり $x \ge 1$ である必要があります。

$x = \frac{3}{2}$ は $x \ge 1$ を満たします。

$|x-2| = x+1$ に戻って考える場合、

$x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ である必要があります。

$x = \frac{1}{2}$ は $x \ge -1$ を満たします。

したがって、$x = \frac{3}{2}$ と $x = \frac{1}{2}$ はどちらも解となります。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$