2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の範囲を求めます。 (1) $x$ 軸と $x > 1$ の部分で異なる2点で交わる。 (2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分の両方と交わる。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の範囲を求めます。

(1) $x$ 軸と $x > 1$ の部分で異なる2点で交わる。

(2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分の両方と交わる。

2. 解き方の手順

(1) $x$軸と$x>1$の部分で異なる2点で交わる条件

* 判別式$D>0$

* 軸の位置>1

* $f(1)>0$

判別式$D$について

$D/4 = (-m)^2 - (m+2) = m^2-m-2 = (m-2)(m+1)$

$D/4>0$より、

$(m-2)(m+1)>0$

$m<-1, 2<m$ ...(1)

軸について

軸は$x=m$であるから

$m>1$ ...(2)

$f(1)$について

$f(1) = 1-2m+m+2 = 3-m$

$f(1)>0$より

$3-m>0$

$m<3$ ...(3)

(1),(2),(3)より、$2 < m < 3$

(2) $x$軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分の両方と交わる条件

$f(1) < 0$ が条件となります。

$f(1) = 3 - m < 0$

$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $2 < m < 3$

(2) $m > 3$