2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

また、2つの解 $\alpha$, $\beta$ がともに負である条件は、

$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である。

この問題では、$a=1$, $b=-2(m-2)$, $c=-m+14$ である。

判別式 $D$ は

\begin{align*}

D &= (-2(m-2))^2 - 4(1)(-m+14) \\

&= 4(m^2 - 4m + 4) + 4m - 56 \\

&= 4m^2 - 16m + 16 + 4m - 56 \\

&= 4m^2 - 12m - 40 \\

&= 4(m^2 - 3m - 10)

\end{align*}

$D > 0$ より、

$m^2 - 3m - 10 > 0$

$(m-5)(m+2) > 0$

したがって、$m < -2$ または $m > 5$ である。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 2(m-2)$

$\alpha \beta = \frac{c}{a} = -m+14$

$\alpha + \beta < 0$ より、

$2(m-2) < 0$

$m-2 < 0$

$m < 2$

$\alpha \beta > 0$ より、

$-m + 14 > 0$

$m < 14$

以上より、$m < -2$ または $m > 5$ かつ $m < 2$ かつ $m < 14$ を満たす $m$ の範囲を求める。

$m < -2$ または $m > 5$ と $m < 2$ の共通部分は $m < -2$ である。

さらに、$m < 14$ との共通部分は $m < -2$ である。

3. 最終的な答え

$m < -2$