複素数平面において、与えられた方程式を満たす点 $z$ の全体がどのような図形になるかを答えます。 (1) $|z - 1| = |z - 3i|$ (2) $|z| = |z + (2 + i)|$

1. 問題の内容

複素数平面において、与えられた方程式を満たす点 $z$ の全体がどのような図形になるかを答えます。

(1) $|z - 1| = |z - 3i|$

(2) $|z| = |z + (2 + i)|$

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ とおくと、与えられた方程式は

$|x + yi - 1| = |x + yi - 3i|$

$|(x - 1) + yi| = |x + (y - 3)i|$

$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y - 3)^2}$

両辺を2乗して、

$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 3)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 6y + 9$

$-2x + 1 = -6y + 9$

$2x - 6y + 8 = 0$

$x - 3y + 4 = 0$

$x = 3y - 4$

これは直線の方程式を表しています。

(2) $z = x + yi$ とおくと、与えられた方程式は

$|x + yi| = |x + yi + (2 + i)|$

$|x + yi| = |(x + 2) + (y + 1)i|$

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + (y + 1)^2}$

両辺を2乗して、

$x^2 + y^2 = (x + 2)^2 + (y + 1)^2$

$x^2 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$

$0 = 4x + 2y + 5$

$4x + 2y + 5 = 0$

$2y = -4x - 5$

$y = -2x - \frac{5}{2}$

これも直線の方程式を表しています。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $x - 3y + 4 = 0$

(2) 直線 $4x + 2y + 5 = 0$