2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフが与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $x$ 軸と $x > 1$ の部分で異なる2点で交わる。 (2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分の両方と交わる。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ のグラフが与えられた条件を満たすとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) $x$ 軸と $x > 1$ の部分で異なる2点で交わる。

(2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分の両方と交わる。

2. 解き方の手順

(1) $x$ 軸と $x > 1$ の部分で異なる2点で交わる条件

放物線 $y = x^2 - 2mx + m + 2$ が $x$ 軸と $x > 1$ の部分で異なる2点で交わるための条件は、以下の3つを満たすことです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $x = m > 1$

(iii) $f(1) > 0$

(i) $D = (-2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 > 0$

$m^2 - m - 2 > 0$

$(m - 2)(m + 1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 2$

(ii) 軸は $x = -\frac{-2m}{2(1)} = m$ なので、$m > 1$

(iii) $f(1) = 1^2 - 2m(1) + m + 2 = 1 - 2m + m + 2 = -m + 3 > 0$

よって、$m < 3$

(i), (ii), (iii) より、$2 < m < 3$

(2) $x$ 軸の $x > 1$ の部分と $x < 1$ の部分の両方と交わる条件

$f(1) < 0$ を満たせばよい。

$f(1) = -m + 3 < 0$

$m > 3$

3. 最終的な答え

(1) $2 < m < 3$

(2) $m > 3$