2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac > 0$ である。

また、2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$, $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ である。

2つの解が共に負である条件は、$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である。

与えられた2次方程式 $x^2 - 2(m-2)x - m + 14 = 0$ に対して、

$a = 1$, $b = -2(m-2)$, $c = -m + 14$ である。

判別式 $D$ は、

$D = (-2(m-2))^2 - 4(1)(-m + 14) = 4(m^2 - 4m + 4) + 4m - 56 = 4m^2 - 16m + 16 + 4m - 56 = 4m^2 - 12m - 40 > 0$

$m^2 - 3m - 10 > 0$

$(m - 5)(m + 2) > 0$

よって、$m < -2$ または $m > 5$ … (1)

解と係数の関係より、2つの解の和 $\alpha + \beta = - \frac{-2(m-2)}{1} = 2(m-2)$ であり、積 $\alpha \beta = \frac{-m + 14}{1} = -m + 14$ である。

2つの解が共に負である条件は、

$\alpha + \beta = 2(m-2) < 0$ より、

$m - 2 < 0$

$m < 2$ … (2)

$\alpha \beta = -m + 14 > 0$ より、

$m < 14$ … (3)

(1), (2), (3) を満たす $m$ の範囲を求める。

(1) より $m < -2$ または $m > 5$

(2) より $m < 2$

(3) より $m < 14$

数直線を書いて考えると、$m < -2$ が全ての条件を満たす。

したがって、$m < -2$ である。

3. 最終的な答え

$m < -2$