(1) 不等式 $x^2 - 2x + 2 > 0$ を証明する。 (2) 3次不等式 $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 \le 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $x^2 - 2x + 2 > 0$ を証明する。

(2) 3次不等式 $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 \le 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 - 2x + 2$ を平方完成する。

$x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

$(x - 1)^2 \ge 0$ であるから、$(x - 1)^2 + 1 \ge 1 > 0$。

したがって、$x^2 - 2x + 2 > 0$ が成り立つ。

(2)

$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 \le 0$ を解く。

$P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ とおく。

$P(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 2 = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$

したがって、$P(x)$ は $(x - 1)$ を因数に持つ。

$x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ を $(x - 1)$ で割ると、

$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x - 1)(x^2 - 2x + 2)$

したがって、不等式は

$(x - 1)(x^2 - 2x + 2) \le 0$

(1) の結果より、$x^2 - 2x + 2 > 0$ であるから、$x - 1 \le 0$ となる。

$x \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + 1 > 0$ より、$x^2 - 2x + 2 > 0$ が成り立つ。（証明終わり）

(2) $x \le 1$