複素数平面上の2点 $A(-1+2i)$ と $B(4-i)$ が与えられているとき、線分ABを2:3に内分する点と外分する点を表す複素数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の2点 $A(-1+2i)$ と $B(4-i)$ が与えられているとき、線分ABを2:3に内分する点と外分する点を表す複素数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、線分ABをm:nに内分する点を表す複素数は、以下の式で与えられる。

$$\frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$$

ここで、$\alpha$ は点Aを表す複素数、$\beta$ は点Bを表す複素数である。

次に、線分ABをm:nに外分する点を表す複素数は、以下の式で与えられる。

$$\frac{-n\alpha + m\beta}{m-n}$$

ここで、$\alpha$ は点Aを表す複素数、$\beta$ は点Bを表す複素数である。

(1) 内分点

m = 2, n = 3, $\alpha = -1+2i$, $\beta = 4-i$ を代入する。

$$\frac{3(-1+2i) + 2(4-i)}{2+3} = \frac{-3+6i+8-2i}{5} = \frac{5+4i}{5} = 1+\frac{4}{5}i$$

(2) 外分点

m = 2, n = 3, $\alpha = -1+2i$, $\beta = 4-i$ を代入する。

$$\frac{-3(-1+2i) + 2(4-i)}{2-3} = \frac{3-6i+8-2i}{-1} = \frac{11-8i}{-1} = -11+8i$$

3. 最終的な答え

内分する点を表す複素数は $1+\frac{4}{5}i$

外分する点を表す複素数は $-11+8i$