数列 $\{a_n\}$ が与えられています。$a_n = 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...$ この数列の階差数列を調べて、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられています。$a_n = 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, ...$ この数列の階差数列を調べて、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 5 = 5$

$b_4 = a_5 - a_4 = 17 - 10 = 7$

$b_5 = a_6 - a_5 = 26 - 17 = 9$

$b_6 = a_7 - a_6 = 37 - 26 = 11$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 3, 5, 7, 9, 11, ...$ となります。これは初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列なので、

$b_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めるには、以下の公式を利用します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)$

$a_1 = 1$ であり、$b_k = 2k - 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1)$

$= 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$= 1 + n(n-1) - (n-1)$

$= 1 + n^2 - n - n + 1$

$= n^2 - 2n + 2$

この式は $n=1$ のときも $a_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$ となり、成り立つので、一般項は

$a_n = n^2 - 2n + 2$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - 2n + 2$