与えられた対数方程式 $\log_3(x-3) + \log_3(x-5) = 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_3(x-3) + \log_3(x-5) = 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて左辺をまとめます。

対数の和は、真数のかけ算になるので、

$\log_3(x-3) + \log_3(x-5) = \log_3((x-3)(x-5))$

となります。

したがって、与えられた方程式は

$\log_3((x-3)(x-5)) = 1$

と書き換えられます。

次に、対数の定義から、

$(x-3)(x-5) = 3^1 = 3$

となります。

左辺を展開すると、

$x^2 - 8x + 15 = 3$

となります。

これを整理すると、

$x^2 - 8x + 12 = 0$

となります。

この2次方程式を因数分解すると、

$(x-2)(x-6) = 0$

となります。

よって、$x = 2$ または $x = 6$ が得られます。

最後に、解の吟味を行います。

元の対数方程式 $\log_3(x-3) + \log_3(x-5) = 1$ において、対数の真数は正でなければなりません。

すなわち、$x-3 > 0$ かつ $x-5 > 0$ である必要があります。

これは、$x > 3$ かつ $x > 5$ を意味するので、$x > 5$ でなければなりません。

$x = 2$ は $x > 5$ を満たさないので、不適です。

$x = 6$ は $x > 5$ を満たすので、解として適切です。

3. 最終的な答え

$x = 6$