放物線 $y = 2x^2$ と直線が点Aと点Bで交わっている。点Aのx座標は-1であり、点Bのx座標は正である。直線の切片は6である。 (1) この直線の方程式を求めよ。 (2) 三角形OABの面積を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2$ と直線が点Aと点Bで交わっている。点Aのx座標は-1であり、点Bのx座標は正である。直線の切片は6である。

(1) この直線の方程式を求めよ。

(2) 三角形OABの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直線の方程式を求める。

直線の切片が6なので、直線の方程式は $y = ax + 6$ と表せる。

点Aのx座標は-1なので、$y = 2x^2$ に $x = -1$ を代入すると、$y = 2(-1)^2 = 2$。

したがって、点Aの座標は $(-1, 2)$。

点Aは直線上にあるので、$y = ax + 6$ に $(-1, 2)$ を代入すると、$2 = a(-1) + 6$。

これを解くと、$a = 4$。

よって、直線の方程式は $y = 4x + 6$。

(2) 三角形OABの面積を求める。

点Bのx座標を求める。点Bは放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 4x + 6$ の交点なので、$2x^2 = 4x + 6$。

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

点Bのx座標は正なので、$x = 3$。

$y = 2(3)^2 = 18$

したがって、点Bの座標は $(3, 18)$。

三角形OABの面積を求めるために、点Aと点Bの座標を利用する。

点A $(-1, 2)$, 点B $(3, 18)$, 原点O $(0, 0)$。

三角形OABの面積は、座標を使って以下のように計算できる。

面積 $= \frac{1}{2} |(x_A y_B - x_B y_A)| = \frac{1}{2} |(-1 \times 18 - 3 \times 2)| = \frac{1}{2} |(-18 - 6)| = \frac{1}{2} |-24| = \frac{1}{2} \times 24 = 12$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x + 6$

(2) 12