整式 $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 6x - 9$ が $x+1$, $x-2$, $x+3$ のうち、どの式を因数にもつか判定する問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x) = 2x^3 + 5x^2 - 6x - 9$ が $x+1$, $x-2$, $x+3$ のうち、どの式を因数にもつか判定する問題です。

2. 解き方の手順

因数定理を利用します。整式 $P(x)$ が $x - a$ を因数に持つための必要十分条件は、$P(a) = 0$ であることです。したがって、$P(-1)$, $P(2)$, $P(-3)$ を計算し、0になるものを探します。

* $x+1$ が因数かどうかを調べる ($a = -1$):

$P(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 - 6(-1) - 9 = -2 + 5 + 6 - 9 = 0$

よって、$P(x)$ は $x+1$ を因数に持ちます。

* $x-2$ が因数かどうかを調べる ($a = 2$):

$P(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 6(2) - 9 = 16 + 20 - 12 - 9 = 15 \neq 0$

よって、$P(x)$ は $x-2$ を因数に持ちません。

* $x+3$ が因数かどうかを調べる ($a = -3$):

$P(-3) = 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 6(-3) - 9 = -54 + 45 + 18 - 9 = 0$

よって、$P(x)$ は $x+3$ を因数に持ちます。

3. 最終的な答え

$x+1$ と $x+3$