数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n^3$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $n^3$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ と一般項 $a_n$ の関係は、次のようになります。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n=1$ のとき、

$a_1 = S_1$

まず、$n \geq 2$ の場合を考えます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^3$ より、

$S_{n-1} = (n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$

したがって、

$a_n = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = 3n^2 - 3n + 1$

次に、$n = 1$ の場合を考えます。

$a_1 = S_1 = 1^3 = 1$

$n = 1$ を $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ に代入すると、

$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$

$n=1$のときも、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ が成り立ちます。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = 3n^2 - 3n + 1$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 1$