実数 $x$, $y$ が $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y=6$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $x$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $x^2+y^2$ の最大値、最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ が $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y=6$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $x$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $x^2+y^2$ の最大値、最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x+y=6$ より、$y=6-x$ である。

$y \geq 0$ なので、$6-x \geq 0$。

よって、$x \leq 6$。

また、$x \geq 0$ なので、$0 \leq x \leq 6$。

(2) $x^2+y^2$ を $x$ の関数として表す。

$y=6-x$ より、

$x^2+y^2 = x^2+(6-x)^2 = x^2+36-12x+x^2 = 2x^2-12x+36$

$= 2(x^2-6x)+36 = 2(x^2-6x+9-9)+36 = 2(x-3)^2-18+36 = 2(x-3)^2+18$

$f(x)=2(x-3)^2+18$ とおく。

$0 \leq x \leq 6$ の範囲で、$f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$f(x)$ は $x=3$ のとき最小値 $18$ をとる。

このとき、$y=6-3=3$。

$x=0$ のとき、$f(0) = 2(0-3)^2+18 = 2(9)+18 = 18+18 = 36$

このとき、$y=6-0=6$。

$x=6$ のとき、$f(6) = 2(6-3)^2+18 = 2(9)+18 = 18+18 = 36$

このとき、$y=6-6=0$。

よって、$x^2+y^2$ は、$x=0$ または $x=6$ のとき最大値 $36$ をとり、$x=3$ のとき最小値 $18$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq x \leq 6$

(2) 最大値: $36$ ($x=0, y=6$ または $x=6, y=0$ のとき)

最小値: $18$ ($x=3, y=3$ のとき)