$m$ が整数のとき、2次方程式 $x^2 + mx + 2m - 4 = 0$ の1つの解が他の解の3倍に等しいとき、$m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ が整数のとき、2次方程式 $x^2 + mx + 2m - 4 = 0$ の1つの解が他の解の3倍に等しいとき、$m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + mx + 2m - 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$3\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + 3\alpha = -m$

$\alpha \cdot 3\alpha = 2m - 4$

となる。

これらを整理すると、

$4\alpha = -m$ ...(1)

$3\alpha^2 = 2m - 4$ ...(2)

(1)より、$\alpha = -\frac{m}{4}$

これを(2)に代入すると、

$3(-\frac{m}{4})^2 = 2m - 4$

$3\frac{m^2}{16} = 2m - 4$

$3m^2 = 32m - 64$

$3m^2 - 32m + 64 = 0$

$(3m - 8)(m - 8) = 0$

$m = \frac{8}{3}$ または $m = 8$

$m$は整数なので、$m = 8$

3. 最終的な答え

8