$x, y, z$ は実数とする。次の4つの条件のうち、$x = y$ と同値な条件をすべて選ぶ問題。 (1) $x + z = y + z$ (2) $xz = yz$ (3) $x^2 = y^2$ (4) $(x - y)^2 = 0$

1. 問題の内容

$x, y, z$ は実数とする。次の4つの条件のうち、$x = y$ と同値な条件をすべて選ぶ問題。

(1) $x + z = y + z$

(2) $xz = yz$

(3) $x^2 = y^2$

(4) $(x - y)^2 = 0$

2. 解き方の手順

各条件が $x=y$ と同値かどうかを検討する。

(1) $x + z = y + z$

両辺から $z$ を引くと、$x = y$ となる。したがって、$x + z = y + z \iff x = y$ なので、同値である。

(2) $xz = yz$

$xz - yz = 0$ より、$(x - y)z = 0$ となる。

この式が成り立つのは、$x = y$ または $z = 0$ の場合である。

$z = 0$ の場合、$x$ と $y$ がどんな値でも式が成立してしまうため、$x = y$ とは限らない。したがって、$xz = yz \implies x = y$ は成り立つとは限らないため、同値ではない。

(3) $x^2 = y^2$

$x^2 - y^2 = 0$ より、$(x - y)(x + y) = 0$ となる。

この式が成り立つのは、$x = y$ または $x = -y$ の場合である。

$x = -y$ の場合、$x$ と $y$ が異符号でも式が成立してしまうため、$x = y$ とは限らない。したがって、$x^2 = y^2 \implies x = y$ は成り立つとは限らないため、同値ではない。

(4) $(x - y)^2 = 0$

2乗が0になるのは、中身が0の時だけである。したがって、$x - y = 0$ となり、$x = y$ が導かれる。

したがって、$(x - y)^2 = 0 \iff x = y$ なので、同値である。

3. 最終的な答え

(1)と(4)