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与えられた分数 $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

代数学分母の有理化平方根式の計算
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた分数 2+7−52+7+5\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5}} の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

まず、分母と分子に (2+7)−5(\sqrt{2}+\sqrt{7})-\sqrt{5} をかけます。これにより、分母の 5\sqrt{5} を消去します。
2+7−52+7+5=(2+7−5)(2+7−5)(2+7+5)(2+7−5)\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5})}
分母は (2+7+5)(2+7−5)=(2+7)2−(5)2=(2+214+7)−5=4+214(\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5}) = (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = (2+2\sqrt{14}+7)-5 = 4+2\sqrt{14} となります。
分子は (2+7−5)(2+7−5)=(2+7−5)2=(2+7)2−2(2+7)5+(5)2=(2+214+7)−2(10+35)+5=14+214−210−235(\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5}) = (\sqrt{2}+\sqrt{7}-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{7})^2 - 2(\sqrt{2}+\sqrt{7})\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (2+2\sqrt{14}+7)-2(\sqrt{10}+\sqrt{35})+5 = 14+2\sqrt{14}-2\sqrt{10}-2\sqrt{35} となります。
よって、14+214−210−2354+214=7+14−10−352+14\frac{14+2\sqrt{14}-2\sqrt{10}-2\sqrt{35}}{4+2\sqrt{14}} = \frac{7+\sqrt{14}-\sqrt{10}-\sqrt{35}}{2+\sqrt{14}}となります。
次に、分母と分子に 2−142-\sqrt{14} をかけます。
(7+14−10−35)(2−14)(2+14)(2−14)=14−714+214−14−210+140−235+4904−14\frac{(7+\sqrt{14}-\sqrt{10}-\sqrt{35})(2-\sqrt{14})}{(2+\sqrt{14})(2-\sqrt{14})} = \frac{14-7\sqrt{14}+2\sqrt{14}-14-2\sqrt{10}+\sqrt{140}-2\sqrt{35}+\sqrt{490}}{4-14}
=−514−210+235−235+710−10=−514+510−10=−14+10−2=14−102= \frac{-5\sqrt{14}-2\sqrt{10}+2\sqrt{35}-2\sqrt{35}+7\sqrt{10}}{-10} = \frac{-5\sqrt{14}+5\sqrt{10}}{-10} = \frac{-\sqrt{14}+\sqrt{10}}{-2} = \frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}

3. 最終的な答え

14−102\frac{\sqrt{14}-\sqrt{10}}{2}

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